如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 $F_{1}$，$F_{2}$ 在 $x$ 轴上，长轴 $A_{1}A_{2}$ 的长为 $4$，左准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $M$，$|MA_{1}|: |A_{1}F_{1}| = 2:1$.

(1) 求椭圆的方程； (2) 若直线 $l_{1}: x = m$（$|m| > 1$），$P$ 为 $l_{1}$ 上的动点，使 $\angle F_{1}PF_{2}$ 最大的点 $P$ 记为 $Q$，求点 $Q$ 的坐标.（用 $m$ 表示）

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的长半轴为 $a$，半焦距为 $c$. 由长轴长为 $4$，得 $a=2$. 左顶点为 $A_1=(-2,0)$，左焦点为 $F_1=(-c,0)$，左准线为 $x=-\frac{a^2}{c}=-\frac4c$. 因为 $M$ 在左准线上，且 $M$ 位于 $A_1$ 左侧，所以 $|MA_1|=\frac4c-2$，$|A_1F_1|=2-c$. 由比例条件 得 $2c^2-6c+4=0$，$\Longrightarrow$，$(c-1)(c-2)=0$. 因椭圆要求 $0<c<a=2$，故 $c=1$. 于是 $b^2=a^2-c^2=3$，椭圆方程为

\item 由上问，$F_1=(-1,0)$，$F_2=(1,0)$. 设 $P=(m,y)$，令 $u=|y|$. 从 $P$ 指向两焦点的两个向量的内积为 其行列式的绝对值为 $2u$. 因为 $|m|>1$，所成角 $\theta=\angle F_1PF_2$ 为锐角，故 对 $u\geqslant0$ 求导，得 所以当 $u=\sqrt{m^2-1}$ 时该比值取得最大值，角 $\theta$ 也取得最大值. 因此 \end{enumerate} \end{solution}