设 $M$，$N$ 是直角梯形 $ABCD$ 两腰的中点，$DE \perp AB$ 于 $E$（如图）. 现将 $\triangle ADE$ 沿 $DE$ 折起，使二面角 $A-DE-B$ 为 $45^{\circ}$，此时点 $A$ 在平面 $BCDE$ 内的射影恰为点 $B$，则 $M$，$N$ 的连线与 $AE$ 所成角的大小等于______.

\begin{answer} $90^{\circ}$ \end{answer}

\begin{solution} 建立空间直角坐标系，使平面 $BCDE$ 为 $z=0$ 平面，$EB$ 为 $x$ 轴正向，$ED$ 为 $y$ 轴正向. 设 $EB=u>0$，$ED=v>0$，则 $E=(0,0,0)$，$B=(u,0,0)$，$D=(0,v,0)$，$C=(u,v,0)$. 点 $A$ 在平面 $BCDE$ 内的射影为 $B$，故可设 $A=(u,0,h)$. 在垂直于 $DE$ 的截面内，二面角 $A-DE-B$ 是射线 $EA$ 与 $EB$ 的夹角. 该角为 $45^{\circ}$，所以 $h=u$，即 $A=(u,0,u)$.

由中点坐标公式， $M=\left(\frac{u}{2},\frac{v}{2},\frac{u}{2}\right)$，$N=\left(u,\frac{v}{2},0\right)$. 于是 $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{u}{2},0,-\frac{u}{2}\right)$，$\overrightarrow{AE}=(-u,0,-u)$， 且 所以 $MN\perp AE$，所成角为 $90^{\circ}$. \end{solution}

如图，在三棱锥 $P - ABC$ 中，$AB \perp BC$，$AB = BC = kPA$，点 $O$，$D$ 分别是 $AC$，$PC$ 的中点，$OP \perp$ 底面 $ABC$.

(1) 求证： $OD \parallel$ 平面 $PAB$； (2) 当 $k = \frac{1}{2}$ 时，求直线 $PA$ 与平面 $PBC$ 所成角的大小； (3) 当 $k$ 取何值时，$O$ 在平面 $PBC$ 内的射影恰好为 $\triangle PBC$ 的重心？

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在三角形 $APC$ 中，$O$，$D$ 分别是 $AC$，$PC$ 的中点. 由三角形中位线定理， 又 $AP\subset$ 平面 $PAB$，所以 $OD\parallel$ 平面 $PAB$.

\item 设 $PA=p>0$，令 $s=AB=BC=kp$. 建立空间直角坐标系，取 $B=(0,0,0)$，$A=(s,0,0)$，$C=(0,s,0)$. 由于 $OP\perp$ 底面且 $O$ 为 $AC$ 的中点，设 由 $|PA|=p$ 得 平面 $PBC$ 的一个法向量为 取直线 $PA$ 的方向向量 $\boldsymbol{v}=\overrightarrow{AP}=\left(-\frac{s}{2},\frac{s}{2},h\right)$，则 $|\boldsymbol{v}|=p$，$|\boldsymbol{n}|=s\sqrt{h^2+\frac{s^2}{4}}$，$|\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}|=s^2h$. 若直线 $PA$ 与平面 $PBC$ 所成的角为 $\theta$，则 当 $k=\frac12$ 时，$s=\frac p2$，且 $h^2=p^2-\frac{s^2}{2}=\frac{7p^2}{8}$，$h=\frac{\sqrt{14}}{4}p$. 代入得 所以所成角为 $\displaystyle\theta=\arcsin\frac{\sqrt{210}}{30}$.

\item 由上面的坐标设定，三角形 $PBC$ 的重心为 而 $O=\left(\frac{s}{2},\frac{s}{2},0\right)$，$\overrightarrow{GO}=\left(\frac{s}{3},0,-\frac{h}{3}\right)$. 仍取平面 $PBC$ 的法向量 $\boldsymbol{n}=\left(sh,0,-\frac{s^2}{2}\right)$. 点 $O$ 在平面 $PBC$ 内的射影为 $G$ 的充要条件是 $GO\perp$ 平面 $PBC$，即 $\overrightarrow{GO}\parallel\boldsymbol{n}$. 因此 $\left(s,0,-h\right)\parallel\left(h,0,-\frac{s}{2}\right)$，$\Longrightarrow$，$h^2=\frac{s^2}{2}$. 结合 $h^2+\frac{s^2}{2}=p^2$，得 $s^2=p^2$. 因 $s=kp>0$，所以 $k=1$. 反之，$k=1$ 时上述平行关系成立，故此时射影确为重心. \end{enumerate} \end{solution}