已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，点 $P(0,1)$ 和点 $A(m,n)$（$m\neq 0$）都在椭圆 $C$ 上，直线 $PA$ 交 $x$ 轴于点 $M$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程，并求点 $M$ 的坐标（用 $m$，$n$ 表示）； (2) 设 $O$ 为原点，点 $B$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $PB$ 交 $x$ 轴于点 $N$. 问：$y$ 轴上是否存在点 $Q$，使得 $\angle OQM=\angle ONQ$？若存在，求点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由.