函数

(1) 若 $a=1$，则 $f(x)$ 的最小值为______； (2) 若 $f(x)$ 恰有 $2$ 个零点，则实数 $a$ 的取值范围是______.

\begin{answer} $-1$，$\left[\dfrac{1}{2},1\right)\cup[2,+\infty)$ \end{answer}

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $a=1$ 时，$x<1$ 时 $f(x)=2^x-1$，该函数递增且下界为 $-1$. 当 $x\geqslant1$ 时，$f(x)=4(x-1)(x-2)$，其顶点为 $\left(\frac32,-1\right)$，且顶点在定义域内. 所以 $f(x)$ 的最小值为 $-1$. \item 当 $x<1$ 时，方程 $f(x)=0$ 等价于 $2^x=a$，它有一个定义域内的根当且仅当 $0<a<2$. 当 $x\geqslant1$ 时，方程 $f(x)=0$ 的根为 $x=a$ 和 $x=2a$，分别满足定义域条件当且仅当 $a\geqslant1$ 和 $a\geqslant\frac12$.

当 $a\leqslant0$ 时没有零点；当 $0<a<\frac12$ 时只有第一个分支的一个零点；当 $\frac12\leqslant a<1$ 时有第一个分支的一个零点和第二分支的一个零点；当 $1\leqslant a<2$ 时共有三个零点. 当 $a\geqslant2$ 时第一个分支没有零点，而第二分支的两个根均在定义域内. 因此恰有两个零点时，$a\in\left[\frac12,1\right)\cup[2,+\infty)$. \end{enumerate} \end{solution}