如图，在四棱锥 $A-EFCB$ 中，$\triangle AEF$ 为等边三角形，平面 $AEF \perp$ 平面 $EFCB$，$EF \parallel BC$，$BC=4$，$EF=2a$，$\angle EBC=\angle FCB=60^\circ$，$O$ 为 $EF$ 的中点.

(1) 求证：$AO \perp BE$； (2) 求二面角 $F-AE-B$ 的余弦值； (3) 若 $BE \perp$ 平面 $AOC$，求 $a$ 的值.