已知数列 $\{a_n\}$，其中 $a_1=1$，$a_2=3$，$2a_n=a_{n+1}+a_{n-1}$（$n\geqslant 2$）. 记数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，数列 $\{\ln S_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $U_n$.

(1) 求 $U_n$； (2) 设 $F_n(x)=\frac{\mathrm{e}^{U_n}}{2n(n!)^2}x^{2n}$（$x>0$），$T_n(x)=\sum_{k=1}^{n}F_k'(x)$（其中 $F_k'(x)$ 为 $F_k(x)$ 的导函数），计算 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{T_n(x)}{T_{n+1}(x)}$.