已知球 $O$ 的半径是 $1$，$A$，$B$，$C$ 三点都在球面上，$A$，$B$ 两点和 $A$，$C$ 两点的球面距离都是 $\frac{\pi}{4}$，$B$，$C$ 两点的球面距离是 $\frac{\pi}{3}$，则二面角 $B-OA-C$ 的大小是（ ）

如图，在长方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$E$，$P$ 分别是 $BC$，$A_{1}D_{1}$ 的中点，$M$，$N$ 分别是 $AE$，$CD_{1}$ 的中点，$AD=AA_{1}=a$，$AB=2a$.

(1) 求证：$MN\parallel$ 面 $ADD_{1}A_{1}$； (2) 求二面角 $P-AE-D$ 的大小； (3) 求三棱锥 $P-DEN$ 的体积.