已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，左焦点为 $(-2\sqrt5,0)$，离心率为 $\sqrt5$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 记 $C$ 的左，右顶点分别为 $A_1$，$A_2$，过点 $(-4,0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M$，$N$ 两点，$M$ 在第二象限，直线 $MA_1$ 与 $NA_2$ 交于点 $P$，证明：点 $P$ 在定直线上.