已知 $z$ 是实系数方程 $x^2+2bx+c=0$ 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为 $P_z(\operatorname{Re} z,\operatorname{Im} z)$.

(1) 若 $(b,c)$ 在直线 $2x+y=0$ 上，求证：$P_z$ 在圆 $C_1:(x-1)^2+y^2=1$ 上； (2) 给定圆 $C:(x-m)^2+y^2=r^2$（$m$，$r\in\mathbf{R}$，$r>0$），则存在唯一的线段 $s$ 满足：

① 若 $P_z$ 在圆 $C$ 上，则 $(b,c)$ 在线段 $s$ 上； ② 若 $(b,c)$ 是线段 $s$ 上一点（非端点），则 $P_z$ 在圆 $C$ 上.

写出线段 $s$ 的表达式，并说明理由； (3) 由第 $2$ 问知线段 $s$ 与圆 $C$ 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中 $s_1$ 是第 $1$ 问中圆 $C_1$ 的对应线段）.