设函数 $f(x) = 4\sin (2x + 1) - x$，则在下列区间中函数 $f(x)$ 不存在零点的是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 先说明在 $[-4,-2]$ 上没有零点. 令 $x_0=\frac{-2\pi-1}{2}$. 当 $-4\leqslant x\leqslant x_0$ 时，令 $u=2x+1+2\pi$，则 $-1<u\leqslant0$，并且 $\sin(2x+1)=\sin u\geqslant u$. 于是 当 $x_0\leqslant x\leqslant\frac{-\pi-1}{2}$ 时，$-2\pi\leqslant2x+1\leqslant-\pi$，故 $\sin(2x+1)\geqslant0$，从而 $f(x)>0$.

剩下的区间 $\frac{-\pi-1}{2}\leqslant x\leqslant-2$ 很短. 令 $v=2x+1+\pi$，则 $0\leqslant v\leqslant\pi-3<\frac17$，且 $\sin(2x+1)=-\sin v$. 因此 其中用了 $3<\pi<\frac{22}{7}$. 所以 $f(x)>0$ 在 $[-4,-2]$ 上恒成立.

函数连续. 由 $0<\pi-3<\frac17$ 及 $\sin t<t$（$t>0$）， 又因 $\frac{\pi}{6}<1<\frac{\pi}{2}$，有 $\sin1>\frac12$，从而 $f(-1)=1-4\sin1<-1<0$，$f(0)=4\sin1>0$. 因此在 $[-2,0]$ 和 $[0,2]$ 内分别存在零点.

再由 $\frac{3\pi}{2}<5<2\pi$，得 $\sin5<0$，所以 令 $\delta=8-\frac{5\pi}{2}$. 由 $\frac{31}{10}<\pi<\frac{16}{5}$ 得 $0<\delta<\frac14$，于是 $\sin8=\cos\delta>1-\frac{\delta^2}{2}>\frac{31}{32}$，$f\left(\frac72\right)=4\sin8-\frac72>\frac38>0$. 最后令 $\varepsilon=9-\frac{5\pi}{2}$. 由 $3<\pi<\frac{18}{5}$ 得 $0<\varepsilon<\frac{\pi}{2}$，故 $\sin9=\cos\varepsilon<1$，从而 所以在 $[2,4]$ 内也存在零点. 故不含零点的区间是 $[-4,-2]$，选 A. \end{solution}