如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在线段 $AB$，$AD$ 上，$AE = EB = AF = \frac{2}{3} FD = 4$. 沿直线 $EF$ 将 $\triangle AEF$ 翻折成 $\triangle A'EF$，使平面 $A'EF \perp$ 平面 $BEF$.

(1) 求二面角 $A' - FD - C$ 的余弦值； (2) 点 $M$，$N$ 分别在线段 $FD$，$BC$ 上，若沿直线 $MN$ 将四边形 $MNCD$ 向上翻折，使 $C$ 与 $A'$ 重合，求线段 $FM$ 的长.

\begin{solution} 建立直角坐标系，使矩形所在平面为 $z=0$，取 $D=(0,0,0)$，$F=(0,6,0)$，$A=(0,10,0)$，$B=(8,10,0)$ $C=(8,0,0)$，$E=(4,10,0)$. 这里由 $\frac23FD=4$ 得 $FD=6$. 设 $H$ 为 $EF$ 的中点，则 $H=(2,8,0)$. 因为 $AE=AF$，所以 $AH\perp EF$，且 $AH=2\sqrt2$. 折叠后平面 $A'EF$ 与原平面垂直，故可取

\begin{enumerate} \item 平面 $FDC$ 是 $z=0$，可取其法向量 $\boldsymbol{n}_2=(0,0,1)$. 平面 $A'FD$ 内的两个方向向量可取 $\overrightarrow{FD}=(0,-6,0)$ 和 $\overrightarrow{FA'}=(2,2,2\sqrt2)$，故其法向量可取 因此二面角的余弦值为

\item 设 $FM=x$，则 $M=(0,6-x,0)$，且 $0\leqslant x\leqslant6$. 折叠绕直线 $MN$ 进行，点 $M$ 在折痕上不动，所以 $CM=A'M$. 于是 令两式相等，得 $64+(6-x)^2=(x+2)^2+12$，$x=\frac{21}{4}$. 还需验证折痕可取在 $BC$ 上. 令 $N=(8,n,0)$，由 $CN=A'N$ 得 故 $n=\frac{27}{4}\in[0,10]$，确有 $N\in BC$. 所以 \end{enumerate} \end{solution}