如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$ 为 $A_1D_1$ 的中点，$B_1C_1$ 与平面 $CDE$ 交于点 $F$.

(1) 求证：$F$ 为 $B_1C_1$ 中点； (2) 若 $M$ 是棱 $A_1B_1$ 上一点，且二面角 $M-FC-E$ 的余弦值为 $\dfrac{\sqrt5}{3}$，求 $\dfrac{A_1M}{A_1B_1}$ 的值.