设四面体的六条棱的长分别为 $1$，$1$，$1$，$1$，$\sqrt{2}$ 和 $a$，且长为 $a$ 的棱与长为 $\sqrt{2}$ 的棱异面，则 $a$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 设长为 $a$ 的棱为 $AB$，长为 $\sqrt2$ 的异面棱为 $CD$，则其余四条棱 $AC$，$AD$，$BC$，$BD$ 均长为 $1$. 记 $CD$ 的中点为 $M$. 由 $AC=AD=1$，且 $CM=DM=\frac{\sqrt2}{2}$，得 $AM\perp CD$，并且

因此，点 $A$ 位于过 $M$ 且垂直于 $CD$ 的平面内，以 $M$ 为圆心、半径 $\frac{\sqrt2}{2}$ 的圆上. 同样，由 $BC=BD=1$，点 $B$ 也位于这个圆上. 因此 $AB$ 是此圆的一条弦，故 当 $a=\sqrt2$ 时，$A$，$B$ 为圆的两个对径点，四点 $A$，$B$，$C$，$D$ 共面，不能构成四面体；当 $a=0$ 时 $A$ 与 $B$ 重合，也不能构成四面体. 对于 $0<a<\sqrt2$，四点不共面，可以构成题设四面体. 所以 故选 A. \end{solution}

设平面点集 $A = \left\{(x, y) \mid (y - x)\left(y - \frac{1}{x}\right) \geqslant 0\right\}$，$B = \{(x, y) \mid (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \leqslant 1\}$，则 $A \cap B$ 所表示的平面图形的面积为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 圆 $B$ 的内部是圆心 $(1,1)$、半径 $1$ 的圆盘. 除去边界上的零测集，圆盘内有 $x>0$，$y>0$，于是条件可改写为 在交换 $x$ 与 $y$ 时，圆盘保持不变，而 符号相反. 因此，圆盘内满足严格不等式的一点与其关于直线 $y=x$ 的对称点恰有一个属于 $A$，边界对面积没有影响. 所以 $A\cap B$ 占圆盘面积的一半，面积为 故选 D. \end{solution}

某艺校在一天的 $6$ 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 $1$ 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 $1$ 节艺术课的概率为______.

\begin{answer} $\frac{3}{5}$ \end{answer}

\begin{solution} 只考虑文化课和艺术课的类别排列即可. 三节文化课的位置从六个位置中选取，基本事件总数为 设三节文化课之间的三段艺术课数分别为 $g_{1}$，$g_{2}$，并令两端的艺术课数为 $g_{0}$，$g_{3}$. 则 $g_{0}+g_{1}+g_{2}+g_{3}=3$，$g_{1}$，$g_{2}\in\{0,1\}$. 当 $(g_{1},g_{2})=(0,0)$ 时有 $4$ 种；当恰有一个为 $1$ 时有 $3+3=6$ 种；当 $(g_{1},g_{2})=(1,1)$ 时有 $2$ 种. 所以符合条件的排列有 $4+6+2=12$ 种，所求概率为 \end{solution}

如图，在直三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$AB = 4$，$AC = BC = 3$，$D$ 为 $AB$ 的中点.

(1) 求点 C 到平面 $A_{1}ABB_{1}$ 的距离； (2) 若 $AB_{1} \perp A_{1}C$，求二面角 $A_{1} - CD - C_{1}$ 的平面角的余弦值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在等腰三角形 $ABC$ 中，$D$ 为 $AB$ 的中点，所以 $CD\perp AB$，且 直三棱柱的侧棱垂直于底面，故 $AA_{1}\perp CD$，$BB_{1}\perp CD$. 因为 $AB$ 与 $AA_{1}$ 都在平面 $A_{1}ABB_{1}$ 内，且 $CD$ 同时垂直于这两条相交直线，所以 $CD\perp\text{平面 }A_{1}ABB_{1}$. 因而点 $C$ 到该平面的距离为 $CD=\sqrt5$.

\item 取直角坐标系，使 $D$ 为原点，$DB$，$DC$，$DD_{1}$ 分别为 $x$，$y$，$z$ 轴正方向，设棱柱的高为 $h$. 则 $A=(-2,0,0)$，$B=(2,0,0)$，$C=(0,\sqrt5,0)$ $A_{1}=(-2,0,h)$，$B_{1}=(2,0,h)$，$C_{1}=(0,\sqrt5,h)$ 由 $AB_{1}\perp A_{1}C$，得 $\overrightarrow{AB_{1}}=(4,0,h)$，$\overrightarrow{A_{1}C}=(2,\sqrt5,-h)$ $\overrightarrow{AB_{1}}\cdot\overrightarrow{A_{1}C}=8-h^{2}=0$，$h=2\sqrt2$ 取 $D_{1}=(0,0,h)$. 直线 $DA_{1}$ 和 $DD_{1}$ 都垂直于棱 $CD$，且分别在平面 $A_{1}CD$ 和 $C_{1}CD$ 内，所以二面角 $A_{1}-CD-C_{1}$ 的平面角可取为 $\angle A_{1}DD_{1}$. 因此 $\overrightarrow{DA_{1}}=(-2,0,2\sqrt2)$，$\overrightarrow{DD_{1}}=(0,0,2\sqrt2)$ \end{enumerate} \end{solution}

如图，设椭圆的中心为原点 $O$，长轴在 $x$ 轴上，上顶点为 $A$，左，右焦点分别为 $F_{1}$，$F_{2}$，线段 $OF_{1}$，$OF_{2}$ 的中点分别为 $B_{1}$，$B_{2}$，且 $\triangle AB_{1}B_{2}$ 是面积为 4 的直角三角形.

(1) 求该椭圆的离心率和标准方程； (2) 过 $B_{1}$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $P$，$Q$ 两点，使 $PB_{2} \perp QB_{2}$，求直线 $l$ 的方程.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，$a>b>0$ 焦点为 $F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$，其中 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$. 则 $A=(0,b)$，$B_{1}=\left(-\frac c2,0\right)$，$B_{2}=\left(\frac c2,0\right)$ 三角形 $AB_{1}B_{2}$ 为等腰三角形，直角只能在顶点 $A$，所以 故 $c^{2}=4b^{2}$，从而 $a^{2}=b^{2}+c^{2}=5b^{2}$. 又 所以 $b^{2}=4$，$c=4$，$a^{2}=20$. 因而离心率为 椭圆的标准方程为

\item 由上问，$B_{1}=(-2,0)$，$B_{2}=(2,0)$. 直线 $l$ 不能为 $x$ 轴，否则不满足垂直条件，故设 $l:$，$x=my-2$ 将其代入椭圆方程，得 $\frac{(my-2)^{2}}{20}+\frac{y^{2}}4=1$，$(m^{2}+5)y^{2}-4my-16=0$ 设交点 $P(x_{1},y_{1})$，$Q(x_{2},y_{2})$，则 $y_{1}$，$y_{2}$ 是上式的两根，所以 $y_{1}+y_{2}=\frac{4m}{m^{2}+5}$，$y_{1}y_{2}=-\frac{16}{m^{2}+5}$ 由 $x_{i}=my_{i}-2$，有 $\overrightarrow{B_{2}P}=(my_{1}-4,y_{1})$，$\overrightarrow{B_{2}Q}=(my_{2}-4,y_{2})$ 条件 $PB_{2}\perp QB_{2}$ 等价于 所以 $m=\pm2$. 于是直线 $l$ 为 \end{enumerate} \end{solution}

设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} = a_2S_n + a_1$，其中 $a_2\neq 0$.

(1) 求证： $\{a_{n}\}$ 是首项为 1 的等比数列； (2) 若 $a_{2} > -1$，求证：$S_{n} \leqslant \frac{n}{2}(a_{1} + a_{n})$，并给出等号成立的充要条件.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 取 $n=1$，由题设得 又 $S_{1}=a_{1}$，$S_{2}=a_{1}+a_{2}$，所以 $a_{1}+a_{2}=a_{2}a_{1}+a_{1}$，$a_{2}(1-a_{1})=0$ 因 $a_{2}\ne0$，故 $a_{1}=1$.

对 $n\ge2$，将 $S_{n+1}=a_{2}S_{n}+a_{1}$，$S_{n}=a_{2}S_{n-1}+a_{1}$ 相减，得 结合 $a_{1}=1$，可得 所以 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $1$、公比为 $a_{2}$ 的等比数列.

\item 由上问，令 $r=a_{2}$，则 $r>-1$，$r\ne0$，且 $a_{1}=1$，$a_{n}=r^{n-1}$. 对 $k=0$，$1$，$\ldots$，$n-1$，有 这里，当 $-1<r<0$ 时各因子均非负；当 $0<r<1$ 时各因子均非负；当 $r>1$ 时各因子均非正，乘积仍非负；$r=1$ 时乘积为零. 对 $k=0$ 到 $n-1$ 求和，得到 因此

当 $n=1$ 或 $n=2$ 时，上式两端直接相等. 若 $n\ge3$ 且 $r\ne1$，取 $k=1$，则 $1-r\ne0$，且 $1-r^{n-2}\ne0$，上面的求和严格为正，不能取等号. 当 $r=1$ 时 $a_{n}=1$，显然对任意 $n$ 都取等号. 所以等号成立的充要条件为 \end{enumerate} \end{solution}