如图，设椭圆的中心为原点 $O$，长轴在 $x$ 轴上，上顶点为 $A$，左，右焦点分别为 $F_{1}$，$F_{2}$，线段 $OF_{1}$，$OF_{2}$ 的中点分别为 $B_{1}$，$B_{2}$，且 $\triangle AB_{1}B_{2}$ 是面积为 4 的直角三角形.

(1) 求该椭圆的离心率和标准方程； (2) 过 $B_{1}$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $P$，$Q$ 两点，使 $PB_{2} \perp QB_{2}$，求直线 $l$ 的方程.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，$a>b>0$ 焦点为 $F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$，其中 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$. 则 $A=(0,b)$，$B_{1}=\left(-\frac c2,0\right)$，$B_{2}=\left(\frac c2,0\right)$ 三角形 $AB_{1}B_{2}$ 为等腰三角形，直角只能在顶点 $A$，所以 故 $c^{2}=4b^{2}$，从而 $a^{2}=b^{2}+c^{2}=5b^{2}$. 又 所以 $b^{2}=4$，$c=4$，$a^{2}=20$. 因而离心率为 椭圆的标准方程为

\item 由上问，$B_{1}=(-2,0)$，$B_{2}=(2,0)$. 直线 $l$ 不能为 $x$ 轴，否则不满足垂直条件，故设 $l:$，$x=my-2$ 将其代入椭圆方程，得 $\frac{(my-2)^{2}}{20}+\frac{y^{2}}4=1$，$(m^{2}+5)y^{2}-4my-16=0$ 设交点 $P(x_{1},y_{1})$，$Q(x_{2},y_{2})$，则 $y_{1}$，$y_{2}$ 是上式的两根，所以 $y_{1}+y_{2}=\frac{4m}{m^{2}+5}$，$y_{1}y_{2}=-\frac{16}{m^{2}+5}$ 由 $x_{i}=my_{i}-2$，有 $\overrightarrow{B_{2}P}=(my_{1}-4,y_{1})$，$\overrightarrow{B_{2}Q}=(my_{2}-4,y_{2})$ 条件 $PB_{2}\perp QB_{2}$ 等价于 所以 $m=\pm2$. 于是直线 $l$ 为 \end{enumerate} \end{solution}