设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} = a_2S_n + a_1$，其中 $a_2\neq 0$.

(1) 求证： $\{a_{n}\}$ 是首项为 1 的等比数列； (2) 若 $a_{2} > -1$，求证：$S_{n} \leqslant \frac{n}{2}(a_{1} + a_{n})$，并给出等号成立的充要条件.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 取 $n=1$，由题设得 又 $S_{1}=a_{1}$，$S_{2}=a_{1}+a_{2}$，所以 $a_{1}+a_{2}=a_{2}a_{1}+a_{1}$，$a_{2}(1-a_{1})=0$ 因 $a_{2}\ne0$，故 $a_{1}=1$.

对 $n\ge2$，将 $S_{n+1}=a_{2}S_{n}+a_{1}$，$S_{n}=a_{2}S_{n-1}+a_{1}$ 相减，得 结合 $a_{1}=1$，可得 所以 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $1$、公比为 $a_{2}$ 的等比数列.

\item 由上问，令 $r=a_{2}$，则 $r>-1$，$r\ne0$，且 $a_{1}=1$，$a_{n}=r^{n-1}$. 对 $k=0$，$1$，$\ldots$，$n-1$，有 这里，当 $-1<r<0$ 时各因子均非负；当 $0<r<1$ 时各因子均非负；当 $r>1$ 时各因子均非正，乘积仍非负；$r=1$ 时乘积为零. 对 $k=0$ 到 $n-1$ 求和，得到 因此

当 $n=1$ 或 $n=2$ 时，上式两端直接相等. 若 $n\ge3$ 且 $r\ne1$，取 $k=1$，则 $1-r\ne0$，且 $1-r^{n-2}\ne0$，上面的求和严格为正，不能取等号. 当 $r=1$ 时 $a_{n}=1$，显然对任意 $n$ 都取等号. 所以等号成立的充要条件为 \end{enumerate} \end{solution}