已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、$y$ 轴，且过 $A(0, -2)$，$B\left(\dfrac{3}{2}, -1\right)$ 两点。

(1) 求 $E$ 的方程；

(2) 设过点 $P(1, -2)$ 的直线交 $E$ 于 $M$，$N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $AB$ 交于点 $T$，点 $H$ 满足 $\overrightarrow{MT} = \overrightarrow{TH}$。证明：直线 $HN$ 过定点。

已知 $a$，$b$，$c$ 都是正数，且 $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1$，证明：

(1) $abc \leqslant \dfrac{1}{9}$；

(2) $\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b} \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{abc}}$。