如图，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > b > 0$）的左焦点为 $F_{1}$，右焦点为 $F_{2}$，离心率 $\varepsilon = \frac{1}{2}$，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A$，$B$ 两点，且 $\triangle ABF_{2}$ 的周长为 $8$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程； (2) 设动直线 $l: y = kx + m$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $P$，且与直线 $x = 4$ 相交于点 $Q$. 试探究：在坐标平面内是否存在定点 $M$，使得以 $PQ$ 为直径的圆恒过点 $M$？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.