已知某椭圆的焦点是 $F_1(-4,0)$，$F_2(4,0)$，过点 $F_2$，并垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆的一个交点为 $B$，且 $\lvert F_1B\rvert+\lvert F_2B\rvert=10$. 椭圆上不同的两点 $A(x_1,y_1)$，$C(x_2,y_2)$ 满足条件：$\lvert F_2A\rvert$，$\lvert F_2B\rvert$，$\lvert F_2C\rvert$ 成等差数列.

(1) 求该椭圆的方程； (2) 求弦 $AC$ 中点的横坐标； (3) 设弦 $AC$ 的垂直平分线的方程为 $y=kx+m$，求 $m$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的长半轴为 $a_{0}$，短半轴为 $b_{0}$，半焦距为 $c_{0}$. 由焦点坐标得 $c_{0}=4$. 又因为 $B$ 在椭圆上，故 $\lvert F_{1}B\rvert+\lvert F_{2}B\rvert=2a_{0}=10$，从而 $a_{0}=5$，且 $b_{0}^{2}=a_{0}^{2}-c_{0}^{2}=25-16=9$. 所以椭圆方程为 $\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$. \item 对椭圆上任意点 $P(x,y)$，记 $r_{1}=\lvert F_{1}P\rvert$，$r_{2}=\lvert F_{2}P\rvert$. 由椭圆定义，$r_{1}+r_{2}=10$，又 $r_{1}^{2}-r_{2}^{2}=(x+4)^{2}+y^{2}-\bigl((x-4)^{2}+y^{2}\bigr)=16x$，所以 $r_{1}-r_{2}=\dfrac{8}{5}x$，从而 $\lvert F_{2}P\rvert=r_{2}=5-\dfrac45x$. 由第（1）问，点 $B$ 的横坐标为 $4$，故 $\lvert F_{2}B\rvert=5-\dfrac45\times4=\dfrac95$. 设 $M$ 为弦 $AC$ 的中点. 由三项成等差数列，$\lvert F_{2}A\rvert+\lvert F_{2}C\rvert=2\lvert F_{2}B\rvert=\dfrac{18}{5}$. 若 $M=(x_{M},y_{M})$，则 $x_{M}=\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2}=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac54\left(5-\lvert F_{2}A\rvert\right)+\dfrac54\left(5-\lvert F_{2}C\rvert\right)\right]=4$. 所以弦 $AC$ 中点的横坐标为 $4$. \item 记弦 $AC$ 的中点为 $M=(4,y_{M})$，并设 $A=(x_{A},y_{A})$，$C=(x_{C},y_{C})$. 由两点在椭圆上，作差得 $\dfrac{x_{A}^{2}-x_{C}^{2}}{25}+\dfrac{y_{A}^{2}-y_{C}^{2}}{9}=0$. 又 $x_{A}+x_{C}=8$，$y_{A}+y_{C}=2y_{M}$，所以弦的方向向量 $(x_{A}-x_{C},y_{A}-y_{C})$ 满足 $\dfrac{8}{25}(x_{A}-x_{C})+\dfrac{2y_{M}}{9}(y_{A}-y_{C})=0$. 因而向量 $\left(\dfrac{8}{25},\dfrac{2y_{M}}{9}\right)$ 是弦的一个法向量，弦的垂直平分线斜率为 $k=\dfrac{(2\frac{y_{M}}{9})}{(\frac{8}{25})}=\dfrac{25y_{M}}{36}$，这个推导也包含 $y_{M}=0$ 的情形. 该直线经过 $M$，故 $m=y_{M}-4k=-\dfrac{16}{9}y_{M}$.

又因为 $M$ 是椭圆内一个非边界点，且 $x_{M}=4$，所以 $\dfrac{16}{25}+\dfrac{y_{M}^{2}}{9}<1$，即 $-\dfrac95<y_{M}<\dfrac95$. 反之，直线 $x=4$ 上任意满足此不等式的点均在椭圆内部，均可作为某条非退化弦的中点，故取值范围没有遗漏. 由 $m=-\dfrac{16}{9}y_{M}$，得 $-\dfrac{16}{5}<m<\dfrac{16}{5}$. \end{enumerate} \end{solution}