如图，在长方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$AB = 11$，$AD = 7$，$AA_{1} = 12$，一质点从顶点 $A$ 射向点 $E(4,3,12)$，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第 $i - 1$ 次到第 $i$ 次反射点之间的线段记为 $l_{i}$（$i = 2$，$3$，$4$），$l_{1} = AE$，将线段 $l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$，$l_{4}$ 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）

如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中，$ABCD$ 为矩形，平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$.

(1) 求证： $AB \perp PD$； (2) 若 $\angle BPC = 90^{\circ}$，$PB = \sqrt{2}$，$PC = 2$. 问 $AB$ 为何值时，四棱锥 $P - ABCD$ 的体积最大，并求此时平面 $PBC$ 与平面 $DPC$ 夹角的余弦值.