如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的一个焦点是 $F(1,0)$，$O$ 为坐标原点.

(1) 已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； (2) 设过点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$、$B$ 两点. 若直线 $l$ 绕点 $F$ 任意转动，恒有 $|OA|^2 + |OB|^2 < |AB|^2$，求 $a$ 的取值范围.