已知复数 $z_0 = 1 - m\mathrm{i}$（$m > 0$），$z = x + y\mathrm{i}$ 和 $\omega = x' + y'\mathrm{i}$，其中 $x$，$y$，$x'$，$y'$ 均为实数，$\mathrm{i}$ 为虚数单位，且对于任意复数 $z$，有 $\omega = \overline{z_0}\cdot\overline{z}$，$|\omega| = 2|z|$.

(1) 试求 $m$ 的值，并分别写出 $x'$ 和 $y'$ 用 $x$，$y$ 表示的关系式； (2) 将 $(x, y)$ 作为点 $P$ 的坐标，$(x', y')$ 作为点 $Q$ 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点 $P$ 变到这一平面上的点 $Q$，当点 $P$ 在直线 $y = x + 1$ 上移动时，试求点 $P$ 经该变换后得到的点 $Q$ 的轨迹方程； (3) 是否存在这样的直线：它上面的任一点经过上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.