如图，点 $P(0, -1)$ 是椭圆 $C_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的一个顶点，$C_1$ 的长轴是圆 $C_2: x^2 + y^2 = 4$ 的直径，$l_1$，$l_2$ 是过点 $P$ 且互相垂直的两条直线，其中 $l_1$ 交圆 $C_2$ 于 $A$，$B$ 两点，$l_2$ 交椭圆 $C_1$ 于另一点 $D$.

(1) 求椭圆 $C_1$ 的方程； (2) 求 $\triangle ABD$ 面积取最大值时直线 $l_1$ 的方程.