已知函数 $f(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x$，$x>0$.

(1) 当 $a=0$ 时，求 $f(x)$ 的最大值； (2) 若 $f(x)$ 恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围.

已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴，$y$ 轴，且过 $A(0,-2)$，$B\left(\dfrac32,-1\right)$ 两点.

(1) 求 $E$ 的方程； (2) 设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M$，$N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $AB$ 交于点 $T$，点 $H$ 满足 $MT=TH$. 证明：直线 $HN$ 过定点.