在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知向量 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$，$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{OQ} = \sqrt{2}(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})$. 曲线 $C = \left\{P \mid \overrightarrow{OP} = \boldsymbol{a} \cos \theta + \boldsymbol{b} \sin \theta, 0 \leqslant \theta < 2\pi\right\}$，区域 $\Omega = \left\{P \mid 0 < r \leqslant \left|\overrightarrow{PQ}\right| \leqslant R, r < R\right\}$. 若 $C \cap \Omega$ 为两段分离的曲线，则（ ）

\begin{solution} 取 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ 为平面内两条互相垂直的单位向量作为坐标基底，则点 $P$ 的坐标可表示为 $(\cos\theta,\sin\theta)$，点 $Q$ 的坐标为 $(\sqrt{2},\sqrt{2})$. 因而 $\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert^{2}=(\cos\theta-\sqrt{2})^{2}+(\sin\theta-\sqrt{2})^{2}=5-2\sqrt{2}(\cos\theta+\sin\theta)=5-4\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$.

所以 $\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert$ 的最小值为 $1$，最大值为 $3$，且在圆 $C$ 上分别只有一个最小点和一个最大点. 若 $r\leqslant1$，内边界不会截去最小点附近的弧段；若 $R\geqslant3$，外边界不会截去最大点附近的弧段，这两种情形都不能得到两段分离的曲线. 只有 $1<r<R<3$ 时，内、外两个边界分别截去最小点和最大点附近的弧段，剩余部分恰为两段分离的曲线，故选 A. \end{solution}

设 $F_{1}$，$F_{2}$ 分别是椭圆 $E: x^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$0 < b < 1$）的左，右焦点，过点 $F_{1}$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A$，$B$ 两点，若 $|AF_{1}| = 3|BF_{1}|$，$AF_{2} \perp x$ 轴，则椭圆 $E$ 的方程为______.

\begin{solution} 设椭圆焦半距为 $c$，则 $c^{2}=1-b^{2}$，且 $F_{1}=(-c,0)$，$F_{2}=(c,0)$. 由 $AF_{2}\perp x$ 轴，点 $A$ 的横坐标为 $c$. 将 $x=c$ 代入椭圆方程，得 $y^{2}=b^{4}$，所以 $A=(c,\pm b^{2})$. 对上方情形 $A=(c,b^{2})$ 作如下计算；下方情形只需将 $b^{2}$ 换成 $-b^{2}$，代入后的交点方程仍相同，所得距离比也相同.

参数化直线 $F_{1}A$：$X(t)=(-c,0)+t(2c,b^{2})$，其中 $t=1$ 对应点 $A$. 代入椭圆方程，得 $c^{2}(2t-1)^{2}+b^{2}t^{2}=1$. 该方程的一个根为 $1$，另一个根 $t_B$ 满足 $t_B=\dfrac{c^{2}-1}{4c^{2}+b^{2}}=-\dfrac{b^{2}}{4c^{2}+b^{2}}$. 因而 $B$ 在 $F_1$ 的另一侧，且 $\lvert BF_1\rvert=\dfrac{b^{2}}{4c^{2}+b^{2}}\lvert AF_1\rvert$. 由 $\lvert AF_1\rvert=3\lvert BF_1\rvert$，得 $4c^{2}+b^{2}=3b^{2}$，即 $b^{2}=2c^{2}$. 再结合 $b^{2}+c^{2}=1$，得 $b^{2}=\dfrac23$. 所以椭圆方程为 $x^{2}+\dfrac{3}{2}y^{2}=1$. \end{solution}

设函数 $f(x) = 1 + (1 + a)x - x^2 - x^3$，其中 $a > 0$.

(1) 讨论 $f(x)$ 在其定义域上的单调性； (2) 当 $x \in [0,1]$ 时，求 $f(x)$ 取得最大值和最小值时的 $x$ 的值.

如图，已知两条抛物线 $E_{1}: y^{2} = 2p_{1}x$（$p_{1} > 0$）和 $E_{2}: y^{2} = 2p_{2}x$（$p_{2} > 0$），过原点 $O$ 的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$，$l_{1}$ 与 $E_{1}$，$E_{2}$ 分别交于 $A_{1}$，$A_{2}$ 两点，$l_{2}$ 与 $E_{1}$，$E_{2}$ 分别交于 $B_{1}$，$B_{2}$ 两点.

(1) 证明：$A_{1}B_{1} \parallel A_{2}B_{2}$； (2) 过原点 $O$ 作直线 $l$（异于 $l_{1}$，$l_{2}$）与 $E_{1}$，$E_{2}$ 分别交于 $C_{1}$，$C_{2}$ 两点. 记 $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ 与 $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$ 的面积分别为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

如图，四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$A_{1}A \perp$ 底面 $ABCD$. 四边形 $ABCD$ 为梯形，$AD \parallel BC$，且 $AD = 2BC$. 过 $A_{1}$，$C$，$D$ 三点的平面记为 $\alpha$，$BB_{1}$ 与 $\alpha$ 的交点为 $Q$.

(1) 证明：$Q$ 为 $BB_{1}$ 的中点； (2) 求此四棱柱被平面 $\alpha$ 所分成上下两部分的体积之比； (3) 若 $A_{1}A = 4$，$CD = 2$，梯形 $ABCD$ 的面积为 6，求平面 $\alpha$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的大小.