如图，四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$A_{1}A \perp$ 底面 $ABCD$. 四边形 $ABCD$ 为梯形，$AD \parallel BC$，且 $AD = 2BC$. 过 $A_{1}$，$C$，$D$ 三点的平面记为 $\alpha$，$BB_{1}$ 与 $\alpha$ 的交点为 $Q$.

(1) 证明：$Q$ 为 $BB_{1}$ 的中点； (2) 求此四棱柱被平面 $\alpha$ 所分成上下两部分的体积之比； (3) 若 $A_{1}A = 4$，$CD = 2$，梯形 $ABCD$ 的面积为 6，求平面 $\alpha$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的大小.