在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知向量 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$，$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{OQ} = \sqrt{2}(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})$. 曲线 $C = \left\{P \mid \overrightarrow{OP} = \boldsymbol{a} \cos \theta + \boldsymbol{b} \sin \theta, 0 \leqslant \theta < 2\pi\right\}$，区域 $\Omega = \left\{P \mid 0 < r \leqslant \left|\overrightarrow{PQ}\right| \leqslant R, r < R\right\}$. 若 $C \cap \Omega$ 为两段分离的曲线，则（ ）

\begin{solution} 取 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ 为平面内两条互相垂直的单位向量作为坐标基底，则点 $P$ 的坐标可表示为 $(\cos\theta,\sin\theta)$，点 $Q$ 的坐标为 $(\sqrt{2},\sqrt{2})$. 因而 $\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert^{2}=(\cos\theta-\sqrt{2})^{2}+(\sin\theta-\sqrt{2})^{2}=5-2\sqrt{2}(\cos\theta+\sin\theta)=5-4\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$.

所以 $\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert$ 的最小值为 $1$，最大值为 $3$，且在圆 $C$ 上分别只有一个最小点和一个最大点. 若 $r\leqslant1$，内边界不会截去最小点附近的弧段；若 $R\geqslant3$，外边界不会截去最大点附近的弧段，这两种情形都不能得到两段分离的曲线. 只有 $1<r<R<3$ 时，内、外两个边界分别截去最小点和最大点附近的弧段，剩余部分恰为两段分离的曲线，故选 A. \end{solution}