如图，已知平行六面体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的底面 $ABCD$ 为菱形，且 $\angle C_{1}CB=\angle C_{1}CD=\angle BCD$.

(1) 证明：$C_{1}C\perp BD$； (2) 当 $\frac{CD}{CC_{1}}$ 的值为多少时，能使 $A_{1}C\perp$ 平面 $C_{1}BD$？请给出证明.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 $\boldsymbol{u}=\overrightarrow{CB}$，$\boldsymbol{v}=\overrightarrow{CD}$，$\boldsymbol{w}=\overrightarrow{CC_1}$，并记 $\lvert\boldsymbol{u}\rvert=\lvert\boldsymbol{v}\rvert=s$，$\angle BCD=\varphi$. 由底面为菱形，$\lvert\boldsymbol{u}\rvert=\lvert\boldsymbol{v}\rvert=s$. 又由题设三个角相等， 所以 $\boldsymbol{w}\cdot(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u})=0$，而 $\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}=\overrightarrow{BD}$，故 $C_1C\perp BD$. \item 有 $\overrightarrow{CA_1}=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}$. 由（1）立即得到 再取平面 $C_1BD$ 内的方向向量 $\overrightarrow{BC_1}=\boldsymbol{w}-\boldsymbol{u}$，则 因 $0<\varphi<\pi$，第二个因子为正，所以垂直条件等价于 $\lvert\boldsymbol{w}\rvert=s$. 因此 \end{enumerate} \end{solution}

设函数 $f(x)=\sqrt{x^{2}+1}-ax$，其中 $a>0$.

(1) 解不等式 $f(x)\leqslant1$； (2) 证明：当 $a\geqslant1$ 时，函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上是单调函数.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $x<0$ 时，$\sqrt{x^2+1}>1$，且 $-ax>0$，所以 $f(x)>1$，不等式无负数解. 当 $x\geqslant0$ 时，右端 $1+ax>0$，故原不等式等价于 即 $x((1-a^2)x-2a)\leqslant0$. 若 $0<a<1$，得到 $0\leqslant x\leqslant\frac{2a}{1-a^2}$；若 $a\geqslant1$，对所有 $x\geqslant0$ 不等式都成立. 因此解集为 \item 取 $0\leqslant x_1<x_2$. 有 由于 $x_i\geqslant0$，分式小于 $1$，而 $a\geqslant1$，故括号内小于 $0$. 于是 $f(x_2)<f(x_1)$，所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减. \end{enumerate} \end{solution}

如图，已知梯形 $ABCD$ 中 $|AB|=2|CD|$，点 $E$ 分有向线段 $\overrightarrow{AC}$ 所成的比为 $\lambda$，双曲线过 $C$，$D$，$E$ 三点，且以 $A$，$B$ 为焦点，当 $\frac{2}{3}\leqslant\lambda\leqslant\frac{3}{4}$ 时，求双曲线离心率 $e$ 的取值范围.

\begin{solution} 以 $AB$ 的垂直平分线为 $y$ 轴、$AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系. 设双曲线的焦点为 $A=(-c,0)$、$B=(c,0)$，方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$c^2=a^2+b^2$. 因为 $CD\parallel AB$，且 $C$，$D$ 在同一双曲线上，关于 $y$ 轴对称. 又 $AB=2CD$，故可设 $C=\left(\frac c2,h\right)$，$D=\left(-\frac c2,h\right)$. 由点 $C$ 在双曲线上，得 $\frac{c^2}{4a^2}-\frac{h^2}{b^2}=1$，$\frac{h^2}{b^2}=\frac14\frac{c^2}{a^2}-1$. 按有向线段定比分点的定义，$\overrightarrow{AE}=\lambda\overrightarrow{EC}$，所以 令 $e^2=\frac{c^2}{a^2}$，把点 $E$ 代入双曲线方程，并利用上式，得到 整理得 $e^2(1-\lambda)=1+2\lambda$，即 函数 $\frac{1+2\lambda}{1-\lambda}$ 在 $\left[\frac23,\frac34\right]$ 上递增，因此 双曲线离心率为正，故 \end{solution}