如图，已知梯形 $ABCD$ 中 $|AB|=2|CD|$，点 $E$ 分有向线段 $\overrightarrow{AC}$ 所成的比为 $\lambda$，双曲线过 $C$，$D$，$E$ 三点，且以 $A$，$B$ 为焦点，当 $\frac{2}{3}\leqslant\lambda\leqslant\frac{3}{4}$ 时，求双曲线离心率 $e$ 的取值范围.

\begin{solution} 以 $AB$ 的垂直平分线为 $y$ 轴、$AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系. 设双曲线的焦点为 $A=(-c,0)$、$B=(c,0)$，方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$c^2=a^2+b^2$. 因为 $CD\parallel AB$，且 $C$，$D$ 在同一双曲线上，关于 $y$ 轴对称. 又 $AB=2CD$，故可设 $C=\left(\frac c2,h\right)$，$D=\left(-\frac c2,h\right)$. 由点 $C$ 在双曲线上，得 $\frac{c^2}{4a^2}-\frac{h^2}{b^2}=1$，$\frac{h^2}{b^2}=\frac14\frac{c^2}{a^2}-1$. 按有向线段定比分点的定义，$\overrightarrow{AE}=\lambda\overrightarrow{EC}$，所以 令 $e^2=\frac{c^2}{a^2}$，把点 $E$ 代入双曲线方程，并利用上式，得到 整理得 $e^2(1-\lambda)=1+2\lambda$，即 函数 $\frac{1+2\lambda}{1-\lambda}$ 在 $\left[\frac23,\frac34\right]$ 上递增，因此 双曲线离心率为正，故 \end{solution}