如图，已知平行六面体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的底面 $ABCD$ 为菱形，且 $\angle C_{1}CB=\angle C_{1}CD=\angle BCD$.

(1) 证明：$C_{1}C\perp BD$； (2) 当 $\frac{CD}{CC_{1}}$ 的值为多少时，能使 $A_{1}C\perp$ 平面 $C_{1}BD$？请给出证明.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 $\boldsymbol{u}=\overrightarrow{CB}$，$\boldsymbol{v}=\overrightarrow{CD}$，$\boldsymbol{w}=\overrightarrow{CC_1}$，并记 $\lvert\boldsymbol{u}\rvert=\lvert\boldsymbol{v}\rvert=s$，$\angle BCD=\varphi$. 由底面为菱形，$\lvert\boldsymbol{u}\rvert=\lvert\boldsymbol{v}\rvert=s$. 又由题设三个角相等， 所以 $\boldsymbol{w}\cdot(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u})=0$，而 $\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}=\overrightarrow{BD}$，故 $C_1C\perp BD$. \item 有 $\overrightarrow{CA_1}=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}$. 由（1）立即得到 再取平面 $C_1BD$ 内的方向向量 $\overrightarrow{BC_1}=\boldsymbol{w}-\boldsymbol{u}$，则 因 $0<\varphi<\pi$，第二个因子为正，所以垂直条件等价于 $\lvert\boldsymbol{w}\rvert=s$. 因此 \end{enumerate} \end{solution}