已知函数 $f(x) = 10\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + 10\cos^2\frac{x}{2}$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期； (2) 将函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，再向下平移 $a$（$a > 0$） 个单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象，且函数 $g(x)$ 的最大值为 2.

(i) 求函数 $g(x)$ 的解析式； (ii) 证明：存在无穷多个互不相同的正整数 $x_0$，使得 $g(x_0) > 0$.