已知长方形的四个顶点 $A(0, 0)$， $B(2, 0)$， $C(2, 1)$ 和 $D(0, 1)$. 一质点从 $AB$ 的中点 $P_0$ 沿与 $AB$ 夹角为 $\theta$ 的方向射到 $BC$ 上的点 $P_1$ 后，依次反射到 $CD$， $DA$ 和 $AB$ 上的点 $P_2$， $P_3$ 和 $P_4$（入射角等于反射角）. 设 $P_4$ 的坐标为 $(x_4, 0)$，若 $1 < x_4 < 2$，则 $\tan \theta$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 令 $t=\tan\theta$. 由于质点先从 $AB$ 射向 $BC$，取 $t>0$. 将每次反射后的长方形关于反射边对称展开，反射轨迹就变为一条直线. 以原长方形左下角为坐标原点，在展开图中取 $P_{0}=(1,0)$，则直线轨迹为 $Y=t(X-1)$.

第一次碰到 $BC$ 时，展开图中的右边界为 $X=2$，故 $P_{1}$ 对应于 $(2,t)$. 将长方形关于 $BC$ 展开后，第二次碰到 $CD$ 时仍在 $2<X<4$ 的展开矩形内；由 $Y=1$ 得 再关于 $CD$ 展开，第三次碰到 $DA$ 时对应于展开图中的边界 $X=4$，所以 再关于 $DA$ 展开，第四次碰到 $AB$ 时对应于 $Y=2$，因而

第四次碰到 $AB$ 的展开矩形为 $4<X<6$，该矩形折回原长方形后横坐标为 $x_{4}=X-4$，所以 由 $1<x_{4}<2$，得 $1<\frac{2}{t}-3<2$， 从而 $\frac{2}{5}<t<\frac{1}{2}$. 这个范围自动保证各次碰撞依次落在相应边界的内部，故 $\tan\theta\in\left(\frac{2}{5},\frac{1}{2}\right)$，选 C. \end{solution}