如图，抛物线方程为 $y^2=p(x+1)$（$p>0$），直线 $x+y=m$ 与 $x$ 轴的交点在抛物线的准线的右边.

(1) 求证：直线与抛物线总有两个交点； (2) 设直线与抛物线的交点为 $Q$，$R$，$OQ\perp OR$，求 $p$ 关于 $m$ 的函数 $f(m)$ 的表达式； (3) 在（2）的条件下，若 $m$ 变化，使得原点 $O$ 到直线 $QR$ 的距离不大于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $p$ 的取值范围.