设数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=1$，前 $n$ 项和 $S_n$ 满足关系式：$3tS_n-(2t+3)S_{n-1}=3t$（$t>0$，$n=2$，$3$，$4$，$\dots$）.

(1) 求证：数列 $\{a_n\}$ 是等比数列； (2) 设数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $f(t)$，作数列 $\{b_n\}$，使 $b_1=1$，$b_n=f\left(\frac{1}{b_{n-1}}\right)$（$n=2$，$3$，$4$，$\cdots$），求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\lg a_n}{b_n}$； (3) 求和：$b_1b_2-b_2b_3+b_3b_4-\cdots+(-1)^{n-1}b_nb_{n+1}$.