方程 $x^{2} + \sqrt{2} x - 1 = 0$ 的解可视为函数 $y = x + \sqrt{2}$ 的图象与函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象交点的横坐标. 若 $x^{4} + ax - 4 = 0$ 的各个实根 $x_{1}$，$x_{2}$，$\dots$，$x_{k}$（$k \leqslant 4$）所对应的点 $\left(x_{i}, \frac{4}{x_{i}}\right)$（$i=1$，$2$，$\dots$，$k$）均在直线 $y = x$ 的同侧，则实数 $a$ 的取值范围是______.

如图，在平面直角坐标系中，$\Omega$ 是一个与 $x$ 轴的正半轴，$y$ 轴的正半轴分别相切于点 $C$，$D$ 的定圆所围成区域（含边界），$A$，$B$，$C$，$D$ 是该圆的四等分点. 若点 $P(x, y)$，点 $P'(x', y')$ 满足 $x \leqslant x'$ 且 $y \geqslant y'$，则称 $P$ 优于 $P'$. 如果 $\Omega$ 中的点 $Q$ 满足：不存在 $\Omega$ 中的其它点优于 $Q$，那么所有这样的点 $Q$ 组成的集合是劣弧（$\quad$）

已知函数 $f(x) = 2^x - \frac{1}{2^{|x|}}$.

(1) 若 $f(x)=2$，求 $x$ 的值； (2) 若 $2^{t}f(2t) + mf(t) \geqslant 0$ 对于 $t \in [1,2]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

设 $P(a, b)$（$b \neq 0$）是平面直角坐标系 $xOy$ 中的点，$l$ 是经过原点与点 $(1, b)$ 的直线. 记 $Q$ 是直线 $l$ 与抛物线 $x^2 = 2py$（$p \neq 0$）的异于原点的交点.

(1) 已知 $a = 1$，$b = 2$，$p = 2$，求点 $Q$ 的坐标； (2) 已知点 $P(a, b)$（$ab \neq 0$）在椭圆 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 上，$p = \frac{1}{2ab}$，求证：点 $Q$ 落在双曲线 $4x^2 - 4y^2 = 1$ 上； (3) 已知动点 $P(a, b)$ 满足 $ab \neq 0$，$p = \frac{1}{2ab}$，若点 $Q$ 始终落在一条关于 $x$ 轴对称的抛物线上，试问动点 $P$ 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.