已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，常数 $\lambda > 0$，且 $\lambda a_{1}a_{n} = S_{1} + S_{n}$. 对一切正整数 $n$ 都成立.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 设 $a_{1} > 0$，$\lambda = 100$. 当 $n$ 为何值时，数列 $\left\{\lg \frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和最大.