如图，半径为 $R$ 的半球 $O$ 的底面圆 $O$ 在平面 $\alpha$ 内，过点 $O$ 作平面 $\alpha$ 的垂线交半球面于点 $A$，过点 $O$ 的直径 $CD$ 与平面 $\alpha$ 成 $45^{\circ}$ 的平面与半球面相交，所得交线上到平面 $\alpha$ 的距离最大的点为 $B$，该交线上的一点 $P$ 满足 $\angle BOP=60^{\circ}$，则 $A$，$P$ 两点间的球面距离为（ ）