已知两点 $P\left(-2,2\right)$，$Q\left(0,2\right)$ 以及一条直线 $L:y=x$，设长为 $\sqrt{2}$ 的线段 $AB$ 在直线 $L$ 上移动，如图，求直线 $PA$ 和 $QB$ 的交点 $M$ 的轨迹方程. （要求把结果写成普通方程）

\begin{solution} 设 $A=(t,t)$，$B=(t+1,t+1)$，其中 $t\in\mathbf{R}$，这样 $AB=\sqrt{2}$. 设交点为 $M=(x,y)$. 由直线 $PA$ 经过 $(-2,2)$ 和 $(t,t)$，直线 $QB$ 经过 $(0,2)$ 和 $(t+1,t+1)$，分别得到 当 $t=0$ 时，上述两式分别化为 $x+y=0$ 和 $x+y=2$，故两直线平行且无交点. 以下设 $t\neq0$，令 $u=x-y$，$v=x+y$，上面两式化为 $2v=t(u+4)$ 和 $v=t(u+2)+2$. 消去 $v$ 得 $tu=-4$，再代回得 $v=2t-2$. 于是 $u(v+2)+8=0$. 代回 $u=x-y$，$v=x+y$，可得 反过来，满足该方程的点必有 $x-y\neq0$，取 $t=-\frac{4}{x-y}$ 即可由上述两式得到对应的交点，因此这就是交点 $M$ 的轨迹普通方程. \end{solution}