如图，设平面 $AC$ 和 $BD$ 相交于 $BC$，它们所成的一个二面角为 $45^{\circ}$，$P$ 为平面 $AC$ 内的一点，$Q$ 为平面 $BD$ 内的一点. 已知直线 $MQ$ 是直线 $PQ$ 在平面 $BD$ 内的射影，并且 $M$ 在 $BC$ 上. 又设 $PQ$ 与平面 $BD$ 所成的角为 $\beta$，$\angle CMQ=\theta$（$0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$），线段 $PM$ 的长为 $a$，求线段 $PQ$ 的长.

\begin{solution} 从 $P$ 向平面 $BD$ 作垂线，垂足为 $R$. 因为 $MQ$ 是 $PQ$ 在平面 $BD$ 内的射影，所以 $R$ 在直线 $MQ$ 上. 过 $R$ 向交线 $BC$ 作垂线，垂足为 $N$. 由三垂线定理，$PN\perp BC$，而 $RN\perp BC$，所以 $\angle PNR$ 是两平面所成二面角的平面角，从而 $\angle PNR=45^{\circ}$. 又因 $PR\perp BD$，且 $RN\subset BD$，所以 $PR\perp RN$，三角形 $PNR$ 在 $R$ 处直角，故 $PR=RN$.

令 $\varphi=\angle PMR$. 在直角三角形 $PMR$ 中，$PM=a$，所以 $MR=a\cos\varphi$，$PR=a\sin\varphi$. 由于 $R$ 在 $MQ$ 上，$\angle CMR=\angle CMQ=\theta$. 在直角三角形 $MNR$ 中，$NR=MR\sin\theta=a\cos\varphi\sin\theta$. 结合 $PR=NR$，得到 $a\sin\varphi=a\cos\varphi\sin\theta$，即 $\tan\varphi=\sin\theta$.

在三角形 $PMQ$ 中，$\angle PMQ=\varphi$，而 $\angle PQM=\beta$，后者是直线 $PQ$ 与平面 $BD$ 所成的角. 由正弦定理，$\frac{PQ}{\sin\varphi}=\frac{PM}{\sin\beta}$，所以 $PQ=\frac{a\sin\varphi}{\sin\beta}$. 由 $\tan\varphi=\sin\theta$ 且 $0<\varphi<90^{\circ}$，有 $\sin\varphi=\frac{\sin\theta}{\sqrt{1+\sin^2\theta}}$. 因此 $PQ=\frac{a\sin\theta}{\sin\beta\sqrt{1+\sin^2\theta}}$. \end{solution}