函数 其中 $P$，$M$ 为实数集 $\mathbf{R}$ 的两个非空子集，又规定 $f(P)=\{y\mid y=f(x),x\in P\}$，$f(M)=\{y\mid y=f(x),x\in M\}$，给出下列四个判断：

① 若 $P\cap M\neq\varnothing$，则 $f(P)\cap f(M)\neq\varnothing$； ② 若 $P\cup M=\mathbf{R}$，则 $f(P)\cup f(M)=\mathbf{R}$； ③ 若 $P\cup M=\mathbf{R}$，则 $f(P)\cup f(M)=\mathbf{R}$； ④ 若 $P\cup M\neq\mathbf{R}$，则 $f(P)\cup f(M)\neq\mathbf{R}$.

其中正确判断有（ ）

如图，在正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$AB=3$，$AA_1=4$，$M$ 为 $AA_1$ 的中点，$P$ 是 $BC$ 上一点，且由 $P$ 沿棱柱侧面经过棱 $CC_1$ 到 $M$ 的最短路线长为 $\sqrt{29}$，设这条最短路线与 $CC_1$ 的交点为 $N$，求：

(1) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2) $PC$ 和 $NC$ 的长； (3) 平面 $NMP$ 与平面 $ABC$ 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）.

函数 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的增函数，满足 $f(x)=2f\left(\dfrac{x}{2}\right)$ 且 $f(1)=1$，在每个区间 $\left(\dfrac{1}{2^i},\dfrac{1}{2^{i-1}}\right]$（$i=1$，$2$，$\cdots$）上，$y=f(x)$ 的图象都是斜率为同一常数 $k$ 的直线的一部分.

(1) 求 $f(0)$ 及 $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$，$f\left(\dfrac{1}{4}\right)$ 的值，并归纳出 $f\left(\dfrac{1}{2^i}\right)$（$i=1$，$2$，$\cdots$）的表达式； (2) 设直线 $x=\dfrac{1}{2^i}$，$x=\dfrac{1}{2^{i-1}}$，$x$ 轴及 $y=f(x)$ 的图象围成的矩形的面积为 $a_i$（$i=1$，$2$，$\cdots$），记 $S(k)=\lim\limits_{n\to\infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)$，求 $S(k)$ 的表达式，并写出其定义域和最小值.

某段城铁线路上依次有 $A$，$B$，$C$ 三站，$AB=15\mathrm{~km}$，$BC=3\mathrm{~km}$，在列车运行时刻表上，规定列车 8 时整从 $A$ 站发车，8 时 07 分到达 $B$ 站并停车 1 分钟，8 时 12 分到达 $C$ 站，在实际运行中，假设列车从 $A$ 站正点发车，在 $B$ 站停留 1 分钟，并在行驶时以同一速度 $v\mathrm{~km/h}$ 匀速行驶，列车从 $A$ 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.

(1) 分别写出列车在 $B$，$C$ 两站的运行误差； (2) 若要求列车在 $B$，$C$ 两站的运行误差之和不超过 2 分钟，求 $v$ 的取值范围.