函数 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的增函数，满足 $f(x)=2f\left(\dfrac{x}{2}\right)$ 且 $f(1)=1$，在每个区间 $\left(\dfrac{1}{2^i},\dfrac{1}{2^{i-1}}\right]$（$i=1$，$2$，$\cdots$）上，$y=f(x)$ 的图象都是斜率为同一常数 $k$ 的直线的一部分.

(1) 求 $f(0)$ 及 $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$，$f\left(\dfrac{1}{4}\right)$ 的值，并归纳出 $f\left(\dfrac{1}{2^i}\right)$（$i=1$，$2$，$\cdots$）的表达式； (2) 设直线 $x=\dfrac{1}{2^i}$，$x=\dfrac{1}{2^{i-1}}$，$x$ 轴及 $y=f(x)$ 的图象围成的矩形的面积为 $a_i$（$i=1$，$2$，$\cdots$），记 $S(k)=\lim\limits_{n\to\infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)$，求 $S(k)$ 的表达式，并写出其定义域和最小值.