在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知双曲线 $C: 2x^{2} - y^{2} = 1$.

(1) 设 $F$ 是 $C$ 的左焦点，点 $M$ 是 $C$ 右支上一点. 若 $|MF| = 2\sqrt{2}$，求点 $M$ 的坐标； (2) 过 $C$ 的左顶点作 $C$ 的两条渐近线的平行线. 求这两组平行线围成的平行四边形的面积； (3) 设斜率为 $k$ （$|k| < \sqrt{2}$） 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P$，$Q$ 两点. 若 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，求证：$OP \perp OQ$.