已知二次函数 $y = f_{1}(x)$ 的图象以原点为顶点且过点 $(1,1)$. 反比例函数 $y = f_{2}(x)$ 的图象与直线 $y = x$ 的两个交点间距离为 $8$，$f(x) = f_{1}(x) + f_{2}(x)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的表达式. (2) 证明：当 $a > 3$ 时，关于 $x$ 的方程 $f(x) = f(a)$ 有三个实数解.