如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$PA = AB = \sqrt{2}$，点 $E$ 是棱 $PB$ 的中点.

(1) 证明：$AE \perp$ 平面 $PBC$； (2) 若 $AD = 1$，求二面角 $B - EC - D$ 的平面角的余弦值.