如图，$PCBM$ 是直角梯形，$\angle PCB = 90^\circ$，$PM \parallel BC$，$PM = 1$，$BC = 2$，又 $AC = 1$，$\angle ACB = 120^\circ$，$AB \perp PC$，直线 $AM$ 与直线 $PC$ 所成的角为 $60^\circ$.

(1) 求证：平面 $PAC \perp$ 平面 $ABC$； (2) 求二面角 $M - AC - B$ 的大小； (3) 求三棱锥 $P - MAC$ 的体积.

设 $F_{1}$，$F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点.

(1) 若 $P$ 是该椭圆上的一个动点，求 $\overrightarrow{PF_{1}} \cdot \overrightarrow{PF_{2}}$ 的最大值和最小值； (2) 设过定点 $M(0,2)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于不同的两点 $A$，$B$，且 $\angle AOB$ 为锐角（其中 $O$ 为坐标原点），求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

已知函数 $f(x) = x^2 - 4$，设曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_n, f(x_n))$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $(x_{n+1}, 0)$（$n \in \mathbf{N}^{*}$），其中 $x_1$ 为正实数.

(1) 用 $x_n$ 表示 $x_{n+1}$； (2) 求证：对一切正整数 $n$，$x_{n+1} \leqslant x_n$ 的充要条件是 $x_1 \geqslant 2$； (3) 若 $x_1 = 4$，记 $a_n = \lg \frac{x_n + 2}{x_n - 2}$，证明数列 $\{a_n\}$ 成等比数列，并求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式.