已知双曲线 $S$ 的两条渐近线过坐标原点，且与以点 $A(\sqrt{2},0)$ 为圆心，$1$ 为半径的圆相切，双曲线 $S$ 的一个顶点 $A'$ 与点 $A$ 关于直线 $y=x$ 对称. 设直线 $l$ 过点 $A$，斜率为 $k$.

(1) 求双曲线 $S$ 的方程； (2) 当 $k=1$ 时，在双曲线 $S$ 的上支上求点 $B$，使其与直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$； (3) 当 $0 \leqslant k < 1$ 时，若双曲线 $S$ 的上支上有且只有一个点 $B$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$，求斜率 $k$ 的值及相应的点 $B$ 的坐标.