已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$a_{1} = \frac{3}{2}$，且 $a_{n} = \frac{3na_{n-1}}{2a_{n-1} + n - 1}$（$n \geqslant 2$，$n \in \mathbf{N}^{*}$）.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 证明：对一切正整数 $n$，不等式 $a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n < 2 \cdot n!$ 恒成立.