如图，在四面体 $ABCD$ 中，截面 $AEF$ 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 $O$，且与 $BC$，$DC$ 分别截于 $E$，$F$. 如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥 $A-BEFD$ 与三棱锥 $A-EFC$ 的表面积分别为 $S_1$ 和 $S_2$，则必有（ ）

如图，在直三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，底面为直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = CC_{1} = \sqrt{2}$，$P$ 是 $BC_{1}$ 上一动点，则 $CP + PA_{1}$ 的最小值为______.

如图，在三棱锥 $A - BCD$ 中，侧面 $ABD$，$ACD$ 是全等的直角三角形，$AD$ 是公共的斜边，且 $AD = \sqrt{3}$，$BD = CD = 1$，另一个侧面 $ABC$ 是正三角形.

(1) 求证：$AD \perp BC$； (2) 求二面角 $B - AC - D$ 的大小； (3) 在直线 $AC$ 上是否存在一点 $E$，使 $ED$ 与面 $BCD$ 成 $30^{\circ}$ 角？若存在，确定 $E$ 的位置；若不存在，说明理由.