已知点 $P$，$A$，$B$，$C$，$D$ 是球 $O$ 表面上的点，$PA \perp$ 平面 $ABCD$，四边形 $ABCD$ 是边长为 $2\sqrt{3}$ 的正方形. 若 $PA = 2\sqrt{6}$，则 $\triangle OAB$ 的面积为______.

如图，动圆 $C_1: x^2 + y^2 = t^2$，$1 < t < 3$，与椭圆 $C_2: \frac{x^2}{9} + y^2 = 1$ 相交于 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点，点 $A_1$，$A_2$ 分别为 $C_2$ 的左，右顶点.

(1) 当 $t$ 为何值时，矩形 $ABCD$ 的面积取得最大值？ 并求出其最大面积； (2) 求直线 $AA_1$ 与直线 $A_2B$ 交点 $M$ 的轨迹方程.