已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax$（$a$ 为常数）的图象与 $y$ 轴交于点 $A$，曲线 $y = f(x)$ 在点 $A$ 处的切线斜率为 $-1$.

(1) 求 $a$ 的值及函数 $f(x)$ 的极值； (2) 证明：当 $x > 0$ 时，$x^2 < \mathrm{e}^{x}$； (3) 证明：对任意给定的正数 $c$，总存在 $x_0$，使得当 $x \in (x_0, +\infty)$ 时，恒有 $x^2 < c\mathrm{e}^{x}$.