某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示. $O$ 为圆孔及轮廓圆弧 $AB$ 所在圆的圆心，$A$ 是圆弧 $AB$ 与直线 $AG$ 的切点，$B$ 是圆弧 $AB$ 与直线 $BC$ 的切点，四边形 $DEFG$ 为矩形，$BC\perp DG$，垂足为 $C$，$\tan\angle ODC=\dfrac35$，$BH\parallel DG$，$EF=12 \mathrm{~cm}$，$DE=2 \mathrm{~cm}$，$A$ 到直线 $DE$ 和 $EF$ 的距离均为 $7 \mathrm{~cm}$，圆孔半径为 $1 \mathrm{~cm}$，则图中阴影部分的面积为______$\mathrm{cm}^2$.

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 底面为正方形，$PD\perp$ 底面 $ABCD$. 设平面 $PAD$ 与平面 $PBC$ 的交线为 $l$.

(1) 证明：$l\perp$ 平面 $PDC$； (2) 已知 $PD=AD=1$，$Q$ 为 $l$ 上的点，$QB=\sqrt2$，求 $PB$ 与平面 $QCD$ 所成角的正弦值.

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $M(2,3)$，点 $A$ 为其左顶点，且 $AM$ 的斜率为 $\dfrac12$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 点 $N$ 为椭圆上任意一点，求 $\triangle AMN$ 的面积的最大值.

已知函数 $f(x)=a\mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a$.

(1) 当 $a=\mathrm{e}$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2) 若 $f(x)\geqslant1$，求 $a$ 的取值范围.